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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
8.
Determine la cantidad de soluciones que tienen las siguientes ecuaciones
a) $x^{7}+3 x^{5}+2 x+1=0$
a) $x^{7}+3 x^{5}+2 x+1=0$
Respuesta
Como vimos en los ejemplos en clase, para responder esta pregunta vamos a definir:
Reportar problema
$f(x) = x^{7}+3 x^{5}+2 x+1$
y hacemos un análisis completo de esta función. Una vez que tengamos el gráfico aproximado vamos a poder responder la pregunta que nos hace el enunciado.
Seguimos con la misma estructura que venimos usando.
1) Identificamos el dominio de $f(x)$
En este caso no hay ninguna restricción, el dominio de $f$ es todo $\mathbb{R}$.
2) Asíntotas
- Asíntotas verticales: Como el dominio es $\mathbb{R}$, esta función no tiene asíntotas verticales.
- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$
$\lim_{x \to +\infty} x^{7}+3 x^{5}+2 x+1 = +\infty$
$\lim_{x \to -\infty} x^{7}+3 x^{5}+2 x+1 = -\infty$
3) Calculamos $f'(x)$:
\( f'(x) = 7x^{6} + 15x^{4} + 2 \)
4) Igualamos $f'(x)$ a cero para encontrar los puntos críticos:
\( 7x^{6} + 15x^{4} + 2 = 0\)
Fijate que, como $x$ siempre está elevado a potencia par, esta expresión nunca nunca puede valer cero. Por lo tanto, $f$ no tiene puntos críticos.
Y además, veamos que $f'(x)$ es siempre positiva, por lo tanto, $f$ es siempre creciente.
Entonces, el gráfico de $f$ nos queda así:
Y ahora, mirando el gráfico, vemos que $x^{7}+3 x^{5}+2 x+1=0$ tiene una única solución.